数字信号处理2023年2月春季期末考试复习资料
一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为 y（n） ；则输入为 2x（n）时，输出为
2y（n）；输入为 x（n-3）时，输出为y（n-3）。解答：一线性时不变系统的性质是线性和时不变，所以输入为 2x(n) 时，输出为 2y(n)。输入为 x(n-3) 时，输出为 y(n-3)。
从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率 fs 与信号最高频率 fmax 关系为：
fs > 2fmax。解答：奈奎斯特采样定理是数字信号处理的基础，它指出了一个信号的最高频率不能超过采样频率的一半，否则将会发生丢失信息，称为“采样丢失”。因此，为了保证实信号在采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。
已知一个长度为 N 的序列 x(n)，它的离散时间傅立叶变换为 $X(e^{jw})$，它的 N 点离散傅立叶变换 X（K）是关于 $X(e^{jw})$ 的
N点等间隔采样。解答：N 点 离散傅立叶变换 (DFT) 是在 N 个等间隔的离散点上进行傅立叶变换的结果。DFT 的点等间隔与时间序列采样率和时间长度有关。
有限长序列 x(n)的 8 点 DFT 为 X（K），则 X（K）=
答案。用脉冲响应不变法进行 IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的
泄露所产生的不稳定现象。δ(n)的 z 变换是
1。用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较
宽，阻带衰减比较弱。用双线性变法进行 IIR 数字滤波器的设计，从 s 平面向 z 平面转换的关系为 s=
(1-1/z)/T。解答：
若正弦序列 x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是 N=
8。解答：因为周期是指在一段时间内函数回到原始状态的时间，那么正弦函数的周期是 2π。对于给定的正弦序列 x(n)=sin(30nπ/120)，可以看到它的周期被缩放了 30/120=1/4。因此，该正弦序列的周期 N = (2π) / (1/4) = 8。
序列 x1（n）的长度为 4，序列 x2（n）的长度为 3，则它们线性卷积的长度是
6，5 点圆周卷积的长度是5。线性卷积的长度是序列 x1 的长度加上序列 x2 的长度减 1，这是因为每一次卷积计算都会使原始序列向左或向右移动一个单位长度，所以线性卷积的长度为长度较长的序列长度加上长度较短的序列长度减 1。
对于 5 点圆周卷积，这个长度是 N 的最小正整数，使得 N 大于等于两个序列的长度，这样每一次卷积计算都是基于整个圆周长度，从而可以保证卷积结果是正确的。因此，5 点圆周卷积的长度就是 N。
DFT 与 DFS 有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的
若干倍的周期性扩展，而周期序列可以看成有限长序列的重复周期重构。对长度为 N 的序列 x(n)圆周移位 m 位得到的序列用 $x_m(n)$表示，其数学表达式为 $x_m(n)$=
x((n-m) mod N)。比如对于长度为6的序列 x(n) = [1, 2, 3, 4, 5, 6]，如果要进行圆周移位2位，即将序列循环右移2位，那么得到的序列 x_2(n) 的数学表达式为：
x_2(n) = x((n-2) mod 6)
具体地，x_2(0) = x(4) = 5，x_2(1) = x(5) = 6，x_2(2) = x(0) = 1，x_2(3) = x(1) = 2，x_2(4) = x(2) = 3，x_2(5) = x(3) = 4，因此序列x(n)经过2位圆周移位后的序列为 x_2(n) = [5, 6, 1, 2, 3, 4]。
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是
阶跃型的。线性移不变系统的性质有
线性性质、时不变性质和分配律。线性性质：系统对输入信号的响应具有线性性质，即满足叠加原理和比例原理。
时不变性质：系统的性质不随时间而改变，即对于相同的输入信号，其响应在不同的时间点是相同的。
可积性质：系统对有限信号和幂级数信号均可积。
此外，线性性质还满足加法分配律和数乘分配律，即对于系统和输入信号的加法或数乘运算，这些运算可以分别在系统和输入信号上进行，即满足加法分配律和数乘分配律。
用 DFT 近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有
频谱泄露、混叠和截断误差。频谱泄露：当信号的频率不是精确地等于DFT的频率分辨率时，DFT会将该频率的能量泄漏到邻近的频率上，从而导致频谱泄露。
混叠：当信号的频率高于采样率的一半时，DFT无法正确地还原原始频谱，并产生混叠现象，即高频部分的能量被误认为是低频部分的能量。
截断误差：DFT要求信号的长度必须是2的幂次方，因此在对非2的幂次方长度的信号进行DFT时，会对信号进行补零或者截断，从而引入截断误差。
无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有
FIR型，IIR型和混合型。两个有限长序列 $x_1(n)$，0≤n≤33 和 $x_2(n)$，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度是 ，若对这两个序列做 64 点圆周卷积，则圆周卷积结果中 n= 至 为线性卷积结果。
DFT 是利用$W_{N}^{nk}$的 、 和 三个固有特性来实现 FFT 快速运算的。
IIR 数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。
一稳定 LTI 系统的
IIR 数 字滤 波 器有 、 和 三 种 设计 方 法 ，其 结构有 、 、 和 等多种结构。
FIR 滤波器的窗函数设计法中，滤波器的过渡带宽度与窗函数的 有关，阻带衰减与窗函数的 有关。
序列x n n ( ) sin(3 / 5) =的周期为 。
线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。
对4( ) ( ) x n R n = 的 Z 变换为 ，其收敛域为 。
抽样序列的 Z 变换与离散傅里叶变换 DFT 的关系为 。
设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率 $f_p=6 kHz$，通带最大衰减 $a_p=3 dB$， 阻带截止频率 $f_s=12kHz$， 阻带最小衰减 $a_s=25 dB$。求出滤波器归一化系统函数 G(p)以及实际滤波器的 $H_a(s)$。
- 求出归一化的巴特沃斯低通滤波器的单位根位置：$f_p=6 kHz$，$f_s=12kHz$，通带最大衰减 $a_p=3 dB$，阻带最小衰减 $a_s=25 dB$
- 求出巴特沃斯滤波器的带宽 B：$B = f_s - f_p$
- 求出巴特沃斯滤波器的归一化带宽：$ω₀ = 2 * π * f_p / f_s$
- 求出巴特沃斯滤波器的单位根位置：$s = -(ln(a_s / a_p) / (2 * π * B / ω₀))^0.5$
- 定义巴特沃斯滤波器的归一化系统函数：$G(p) = 1 / (1 + (p / ω₀)^2 + 2 * s * p / ω₀)$，p 是 Laplace 变量
- 实际的巴特沃斯低通滤波器的系统函数 $H_a(s)$ 可以通过以下方式转换：$H_a(s) = G(s / (2 * pi * fc)) * 2 * pi * f_c$，其中 fc 是滤波器的中心频率。
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